Aplicaciones de la Integral

abril 21, 2020

Aplicaciones de la Integral

Área entre dos curvas

Una de las aplicaciones de la integral que ya vimos (Tema 1: Teorema Fundamental del Cálculo) es el cálculo de áreas de una región en el plano cartesiano. Recordemos que dicha región debía estar por encima del eje x. Veremos que para el cálculo del área entre dos curvas no importa en que posición del eje x están las gráficas de las dos curvas.

Pasos para encontrar el área mediante una integral definida.

Graficar las dos funciones dadas y = f(x), y = g(x), para ello es importante ver en qué puntos se intersectan las funciones dadas y obtener la región que limita el área por encontrar.
De la gráfica obtendremos los extremos del intervalo para los límites superior e inferior de la integral.
La función que se integrará, es: f(x) - g(x); si la curva de f(x) está más arriba de la curva de g(x), o sea f(x)>g(x) ó f(x)=g(x) para toda x en el intervalo encontrado en el paso 2.
Finalmente hacemos la resta de f(x)-g(x) el cual es nuestra función a integrar, con los límites superior e inferior en la integral definida.

Ejemplo: Sea f(x) = x³, g(x) = -x, x = 2, encontrar el área de la región acotada por las funciones dadas.

Puntos de intersección: x³ = -x → x³ + x = 0 → x(x²+1)=0 → x = 0 ó (x²+1) = 0 → x = 0, tabulando f(0)=0³ = 0, g(0) = -0 = 0, punto de intersección es (0,0). Para x=2 →f(2)=-8, → g(2)=-2, tenemos dos puntos de intersección: (2,8) y (2, -2) Por lo tanto puntos de intersección son tres: (0,0), (2,8), (2, -2).
El intervalo en el eje x es I=[0,2], límite inferior de la integral es 0 y límite superior de la integral es 2.
La función a integrar es f(x)-g(x)= x³- (-x) = x³ + x.
₂
A =⎰(x³ + x)dx